A particle of mass m is executing oscillations about the origin on the x-axis. Its potential energy is $U\left(x\right)=k{\left[x\right]}^3$ , where k is a positive constant. If the amplitude of oscillation is a, then its time period T is -

(a)   Proportional to  $\frac{1}{\sqrt{a}}$  (b)         Independent of a

(c)   Proportional to $\sqrt{a}$    (d)         Proportional to  $a^{3/2}$

m द्रव्यमान का एक कण x-अक्ष पर मूलबिंदु के परितः दोलन कर रहा है। इसकी स्थितिज ऊर्जा $U\left(x\right)=k{\left[x\right]}^3$ है, जहाँ k एक धनात्मक नियतांक है। यदि दोलन का आयाम a है, तब इसका आवर्तकाल T है -

(a)$\frac{1}{\sqrt{a}}$ के अनुक्रमानुपाती (b)  a से स्वतंत्र 

(c) $\sqrt{a}$  के अनुक्रमानुपाती  (d)  $a^{3/2}$ के अनुक्रमानुपाती 

The figure depicts four x-t plots for the linear motion of a particle.

Which of the following is true?

1. (a) is periodic but (c) is not periodic.

2. (b) is periodic but (d) is not periodic.

3. (b) and (d) are periodic.

4. Only (c) is periodic.

एक कण की रेखीय गति के लिए आकृति में चार x-t स्थितियों को दर्शाया गया है।

निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

1. (a) आवर्ती है लेकिन (c) आवर्ती नहीं है। 

2. (b) आवर्ती है लेकिन (d) आवर्ती नहीं है।

3. (b) और (d) आवर्ती हैें। 

4. केवल (c) आवर्ती है। 

A particle executes harmonic oscillations under the effect of small damping. If the amplitude of oscillation becomes half of the initial value 16 mm in five minutes, then what will be the amplitude after fifteen minutes?

1.  8 mm

2.  4 mm

3.  2 mm

4.  1 mm

एक कण सूक्ष्म अवमंदन के प्रभाव के अंतर्गत आवर्ती दोलन करता है। यदि दोलन का आयाम पांच मिनट में प्रारंभिक मान 16 mm का आधा हो जाता है, तब पंद्रह मिनट पश्चात आयाम कितना होगा?

1.  8 mm

2.  4 mm

3.  2 mm

4.  1 mm

A particle is moving along X-axis (x in meter) and force acting on particle varies as F = -5x + 5N, then

1.  The motion of particle will be circular

2.  The motion of particle will be periodic having a mean position at x = 1m

3.  The equilibrium position of the particle will be at x = 4m

4.  Both (1) & (2)

एक कण x-अक्ष (x मीटर में) के अनुदिश गति कर रहा है और कण पर आरोपित बल F = -5x + 5N के रूप में परिवर्तित होता है, तब:

1. कण की गति वृत्ताकार होगी।

2. कण की गति x = 1m पर माध्य स्थिति के साथ आवर्ती होगी।

3. कण की संतुलन स्थिति x = 4m पर होगी।

4. (1) और (2) दोनों

Two simple harmonic motions are represented by ${\mathrm{y}}_1 = 6 \sin \left(2\mathrm{\pi t} + \frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$ and ${\mathrm{y}}_2 = 3\left(\sin 2\mathrm{\pi t} + \cos 2\mathrm{\pi t}\right)$. The ratio of their amplitudes is

1.  $\sqrt{2}$

2.  $\frac{2}{3}$

3.  $\frac{1}{2}$

4.  $2\sqrt{2}$

दो सरल आवर्त गतियों को ${\mathrm{y}}_1 = 6 \sin \left(2\mathrm{\pi t} + \frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$ और ${\mathrm{y}}_2 = 3\left(\sin 2\mathrm{\pi t} + \cos 2\mathrm{\pi t}\right)$ द्वारा निरूपित किया गया है। उनके आयामों का अनुपात है

1.  $\sqrt{2}$

2.  $\frac{2}{3}$

3.  $\frac{1}{2}$

4.  $2\sqrt{2}$

The equation of S.H.M. is given as x = Asin(0.02$\mathrm{\pi t}$), where t is in seconds. With what time period the potential energy oscillates? 

1.  200 s

2.  100 s

3.  50 s

4.  10 s

सरल आवर्त गति का समीकरण x = Asin(0.02$\mathrm{\pi t}$) के रूप में दिया गया है, जहां T सेकेंड में है। किस आवर्तकाल के साथ स्थितिज ऊर्जा दोलन करती है?

1. 200 s 

2. 100 s 

3.  50 s 

4.  10 s

Select the correct statement(s) regarding S.H.M.

1.  The average speed of particle executing S.H.M. is zero in one complete oscillation.

2.  The graph between the kinetic and potential energy of a particle executing S.H.M. is a straight line.

3.  Restoring force acting on the particle is directed towards a fixed point and is directly proportional to the displacement from the mean position of the particle.

4.  Both (2) & (3)

सरल आवर्त गति के संबंध में सही कथन का चयन कीजिए:

1. सरल आवर्त गति कर रहे कण की एक पूर्ण दोलन में औसत गति शून्य होती है।

2. सरल आवर्त गति कर रहे कण का गतिज और स्थितिज ऊर्जा के मध्य का ग्राफ सरल रेखा होता है।

3. कण पर आरोपित प्रत्यानयन बल स्थिर बिंदु की ओर इंगित होता है और कण की माध्य स्थिति से विस्थापन के समानुपाती होता है।

4. (2) और (3) दोनों

A coin is placed on a horizontal platform, which undergoes horizontal SHM about a mean position O. The coin placed on the platform does not slip, the coefficient of friction between the coin and the platform is $\mathrm{\mu }$. The amplitude of oscillation is gradually increased. The coil will begin to slip on the platform for the first time:

1. at the mean position

2. at the extreme position of oscillations

3. for an amplitude of $\mathrm{\mu g}/{\mathrm{\omega }}^2$

4. for an amplitude of $\mathrm{g}/{\mathrm{\mu \omega }}^2$

एक सिक्के को क्षैतिज प्लेटफॉर्म पर रखा जाता है, जो माध्य स्थिति के परितः क्षैतिज सरल आवर्त गति करता है। प्लेटफॉर्म पर रखा गया सिक्का फिसलता नहीं है, सिक्के और प्लेटफॉर्म के मध्य का घर्षण गुणांक $\mathrm{\mu }$ है। दोलन का आयाम धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है। पहली बार सिक्का प्लेटफॉर्म पर कब फिसलना प्रारम्भ करेगा? 

1. माध्य स्थिति पर

2. दोलनों की चरम स्थिति पर

3. $\mathrm{\mu g}/{\mathrm{\omega }}^2$ के आयाम के लिए

4. $\mathrm{g}/{\mathrm{\mu \omega }}^2$ के आयाम के लिए

A particle moves according to the law, $\mathrm{x}=\mathrm{r} \cos \frac{\mathrm{\pi t}}{2}$. The distance covered by it in the time interval between t=0 to t=3 s is:

1. r

2. 2r

3. 3r

4. 4r

एक कण नियम $\mathrm{x}=\mathrm{r} \cos \frac{\mathrm{\pi t}}{2}$ के अनुसार गति करता है। समय अंतराल t = 0 से t = 3 s के मध्य, इसके द्वारा तय की गई दूरी की गणना कीजिए:

1. r

2. 2r

3. 3r

4. 4r

Instantaneous acceleration (in ${\mathrm{ms}}^{-2}$) of a particle executing S.H.M. is given by $\mathrm{a} = -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\mathrm{t} - \frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$.  The maximum speed of the particle will occur first time at

1.  1.75 s

2.  1.4 s

3.  1.2 s

4.  0.67 s

सरल आवर्त गति कर रहे कण के तात्क्षणिक त्वरण (${\mathrm{ms}}^{-2}$ में) को $\mathrm{a} = -\frac{\mathrm{\pi }}{4}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\mathrm{t} - \frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। कण की अधिकतम गति सर्वप्रथम किस पर होगी?

1. 1.75 s

2. 1.4 s

3. 1.2 s

4. 0.67 s